Алгебра Геометрия Математика Информатика Обществознание ОБЖ Физика Химия Биология География Природоведение Окружающий мир Русский язык Литература История России Всеобщая история Английский язык Чтение В данном уроке мы вспомним основы, на которых базируется теория вписанных и описанных окружностей, вспомним признаки четырехугольников описанных и вписанных. Кроме того, выведем формулы для нахождения радиусов описанной и вписанной окружности в различных случаях. В курсе геометрии мы встречались с самыми разнообразными многоугольниками — это и треугольники, и четырехугольники, и n-угольники. Среди четырехугольников можно отметить параллелограмм и его частные случаи — ромб, прямоугольник и квадрат. Кроме того, это трапеция, произвольные выпуклые четырехугольники и т. В некоторые из вышеупомянутых фигур можно вписать окружность, около некоторых — описать окружность. Вспомним, какими свойствами должен обладать многоугольник, чтобы в него можно было вписать окружность, как найти центр этой окружности и каким образом ее радиус соотносится со сторонами многоугольника. Также вспомним, около каких многоугольников свойства вписанного ромба описать окружность, как найти ее центр и как соотносится ее радиус со сторонами многоугольника. Рассмотрим описанную окружность см. Вся теория о ней базируется на простом факте. Пусть задан отрезок ВС, свойства вписанного ромба может быть стороной произвольного многоугольника. Через середину данного отрезка М проходит серединный перпендикуляр р. Свойство точек серединного перпендикуляра заключается в том, что любая его точка А равноудалена от концов отрезка В и С:. Таким образом, если необходимо описать окружность около отрезка, то центр этой окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку. Теорема Около любого треугольника можно описать окружность. Мы доказывали, что свойства вписанного ромба любого треугольника существует точка пересечения его серединных перпендикуляров, причем одна и единственная, и эта точка является центром описанной окружности для данного треугольника. Свойства вписанного ромба есть эта точка равноудалена от всех вершин треугольника см. Чтобы определить для треугольника радиус описанной окружности, можно воспользоваться формулой: Или свойства вписанного ромба из теоремы синусов: В любой треугольник можно вписать окружность. Вся теория вписанных окружностей базируется на свойстве биссектрисы угла. Точки, принадлежащие биссектрисе угла, обладают следующим свойством: любая точка биссектрисы и только точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Для нас важен тот факт, что в один угол можно вписать окружность, таких окружностей бесчисленное множество, и свойства вписанного ромба центры находятся на биссектрисе угла см. Для вычисления радиуса вписанной в треугольник окружности можно выразить его из формулы:где S — площадь треугольника, р — его полупериметр. Рассмотрим соотношения окружностей и четырехугольников. Рассмотрим окружность, описанную около четырехугольника. Задана окружность с центром О и произвольный четырехугольник ABCD см. Рассмотрим свойства этого четырехугольника. Все четыре серединных перпендикуляра данного четырехугольника пересекаются в свойства вписанного ромба точке: эта точка — центр описанной окружности. Доказать, что все четыре серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке, было бы утомительно. Рассмотрим угол ےА, это вписанный угол окружности, он опирается на дугу измеряется половиной градусной меры данной дуги. Обозначим угол ےА затогда дуга. Аналогично обозначим противоположный угол ےС заон вписан в свойства вписанного ромба и опирается на дугу. Поделим полученное выражение на два, получаем:. Итак, мы доказали прямую теорему. Теорема Если около четырехугольника описана окружность, сумма его противоположных углов составляет. Теорема Если сумма противоположных углов четырехугольника составляетоколо этого четырехугольника можно свойства вписанного ромба окружность. Перейдем к вписанной в четырехугольник окружности см. Рассмотрим окружность, вписанную в некий четырехугольник, и свойства этого четырехугольника. Напомним, что отрезки касательных, проведенных к свойства вписанного ромба из одной точки, равны. Проведем биссектрисы углов заданного четырехугольника. Все они пересекаются в одной точке — точке О, центре вписанной окружности. Из точки О опускаем перпендикуляры к сторонам четырехугольника в точки K, L, M, N и определяем точки касания. Из каждой вершины выходит свойства вписанного ромба равных касательных: Рис. Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Это легко доказать: ; ; ; ; ; Раскроем скобки: ; Таким образом, мы доказали простую, но важную теорему. Теорема Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. Теорема Если в четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. На основании приведенных теорем можно сделать следующие выводы: - в произвольный параллелограмм нельзя ни вписать окружность, ни описать ее свойства вписанного ромба него; - в четырехугольники, являющиеся частным случаем параллелограмма, можно вписать или описать окружность. Свойства вписанного ромба, около прямоугольника можно описать окружность, так как сумма его противоположных углов составляет. В ромб можно вписать окружность, так как суммы его противоположных сторон равны; - иногда в трапецию можно вписать окружность, а около равнобедренной трапеции — описать окружность. Рассмотрим правильный n-угольник, заданный длиной стороны. Центры вписанной и описанной окружностей в нем совпадают, и полученная точка называется центром n-угольника см. Заданы длина стороны n-угольника и количество сторон. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей. Далее все сводится к решению одного из прямоугольных треугольников, например, треугольникав котором нам известны угол и катет. Получаем: Итак, мы рассмотрели соотношение окружностей и многоугольников. Мы вспомнили, что теория описанной окружности базируется на свойстве серединного перпендикуляра, тогда как теория вписанной окружности основана на свойстве биссектрисы. Кроме того, мы вспомнили признаки, по которым можно судить, можно ли около четырехугольника описать окружность или вписать ее. Наконец, мы вывели длину радиусов вписанной и описанной окружностей для правильных n-угольников в общем случае. Список литературы Александров Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет Uztest. Домашнее задание Задание 1: окружность, вписанная в треугольниккасается его сторон в точках К, Р и Задание 2: постройте треугольник по двум сторонам и радиусу описанной окружности. Задание 3: найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной с. Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам — сделайте свой вклад в развитие проекта. Закрепите материал с помощью тренажёров Тренажёр 1 Не пройден Тренажёр 2 Не пройден Тренажёр 3 Не пройден Проверьте знания с помощью свойства вписанного ромба Тест 1 Не пройден Служба ответов на вопросы временно не работает. Идет обработка уже поступивших вопросов а их около 10 тыс.

Смотрите также: